Ako sa vypočíta parameter b v lineárnej regresii (prierez y najlepšie vyhovujúcej čiary)?

V kontexte lineárnej regresie je parameter (bežne označovaný ako priesečník y najlepšie vyhovujúcej priamky) je dôležitou súčasťou lineárnej rovnice , Kde predstavuje sklon čiary. Vaša otázka sa týka vzťahu medzi priesečníkom y , priemer závislej premennej a nezávislej premennej a svah .

Aby sme vyriešili otázku, musíme zvážiť odvodenie rovnice lineárnej regresie. Lineárna regresia má za cieľ modelovať vzťah medzi závislou premennou a jednu alebo viac nezávislých premenných prispôsobením lineárnej rovnice pozorovaným údajom. V jednoduchej lineárnej regresii, ktorá zahŕňa jedinú prediktorovú premennú, je vzťah modelovaný rovnicou:

Tu, (svah) a (priesečník y) sú parametre, ktoré je potrebné určiť. Svah označuje zmenu v pre zmenu o jednu jednotku v , zatiaľ čo priesečník y predstavuje hodnotu kedy je nula.

Na nájdenie týchto parametrov zvyčajne používame metódu najmenších štvorcov, ktorá minimalizuje súčet štvorcových rozdielov medzi pozorovanými hodnotami a hodnotami predpovedanými modelom. Výsledkom tejto metódy sú nasledujúce vzorce pre sklon a priesečník y :

Tu, a sú prostriedkom na a hodnoty, resp. Termín predstavuje kovarianciu a , zatiaľ čo predstavuje rozptyl .

Vzorec pre priesečník y možno chápať takto: raz svah je určená, priesečník y sa vypočíta ako priemer z hodnoty a odpočítaním súčinu sklonu a priemer hodnoty. To zaisťuje, že regresná čiara prechádza bodom , čo je ťažisko dátových bodov.

Aby ste to ilustrovali na príklade, zvážte množinu údajov s nasledujúcimi hodnotami:

Najprv vypočítame prostriedky a :

Ďalej vypočítame sklon :

Nakoniec vypočítame priesečník y :

Preto lineárna regresná rovnica pre tento súbor údajov je:

Tento príklad ukazuje, že priesečník y sa skutočne rovná priemeru všetkých hodnoty mínus súčin sklonu a priemer všetkých hodnoty, ktoré sa zarovnajú so vzorcom .

Je dôležité poznamenať, že priesečník y nie je len priemerom všetkých hodnoty plus súčin sklonu a priemer všetkých hodnoty. Namiesto toho zahŕňa odčítanie súčinu sklonu a priemer všetkých hodnoty od priemeru všetkých hodnôt.

Pochopenie odvodenia a významu týchto parametrov je nevyhnutné na interpretáciu výsledkov lineárnej regresnej analýzy. Priesečník y poskytuje cenné informácie o základnej úrovni závislej premennej keď nezávislá premenná je nula. Svah , na druhej strane naznačuje smer a silu vzťahu medzi a .

V praktických aplikáciách sa lineárna regresia široko používa na prediktívne modelovanie a analýzu údajov. Slúži ako základná technika v rôznych oblastiach vrátane ekonómie, financií, biológie a spoločenských vied. Prispôsobením lineárneho modelu pozorovaným údajom môžu výskumníci a analytici robiť predpovede, identifikovať trendy a odhaliť vzťahy medzi premennými.

Python, populárny programovací jazyk pre vedu o údajoch a strojové učenie, poskytuje niekoľko knižníc a nástrojov na vykonávanie lineárnej regresie. Knižnica `scikit-learn` napríklad ponúka priamu implementáciu lineárnej regresie prostredníctvom svojej triedy `LinearRegression`. Tu je príklad, ako vykonať lineárnu regresiu pomocou `scikit-learn` v Pythone:

python
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# Sample data
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5]).reshape((-1, 1))
y = np.array([2, 3, 5, 4, 6])

# Create and fit the model
model = LinearRegression()
model.fit(x, y)

# Get the slope (m) and y-intercept (b)
m = model.coef_[0]
b = model.intercept_

print(f"Slope (m): {m}")
print(f"Y-intercept (b): {b}")

V tomto príklade sa trieda „LinearRegression“ používa na vytvorenie modelu lineárnej regresie. Metóda „fit“ sa volá na trénovanie modelu na vzorových údajoch a atribúty „coef_“ a „intercept_“ sa používajú na získanie sklonu a priesečníka y.

Priesečník y v lineárnej regresii sa nerovná priemeru všetkých hodnoty plus súčin sklonu a priemer všetkých hodnoty. Namiesto toho sa rovná priemeru všetkých hodnoty mínus súčin sklonu a priemer všetkých hodnoty, ako je dané vzorcom .

Ďalšie nedávne otázky a odpovede týkajúce sa Strojové učenie EITC/AI/MLP s Pythonom:

• Akú úlohu zohrávajú podporné vektory pri definovaní rozhodovacej hranice SVM a ako sa identifikujú počas tréningového procesu?
• Aký je význam váhového vektora „w“ a odchýlky „b“ v kontexte optimalizácie SVM a ako sa určujú?
• Aký je účel metódy „vizualizovať“ v implementácii SVM a ako pomáha pochopiť výkon modelu?
• Ako metóda „predpovedať“ v implementácii SVM určuje klasifikáciu nového údajového bodu?
• Čo je hlavným cieľom stroja na podporu vektorov (SVM) v kontexte strojového učenia?
• Ako možno použiť knižnice, ako napríklad scikit-learn, na implementáciu klasifikácie SVM v Pythone a aké kľúčové funkcie sú zahrnuté?
• Vysvetlite význam obmedzenia (y_i (mathbf{x}_i cdot mathbf{w} + b) geq 1) pri optimalizácii SVM.
• Čo je cieľom problému optimalizácie SVM a ako je matematicky formulovaný?
• Ako závisí klasifikácia množiny prvkov v SVM od znamienka rozhodovacej funkcie (text{sign}(mathbf{x}_i cdot mathbf{w} + b))?
• Aká je úloha rovnice nadroviny (mathbf{x} cdot mathbf{w} + b = 0) v kontexte podporných vektorových strojov (SVM)?

Pozrite si ďalšie otázky a odpovede v časti EITC/AI/MLP Machine Learning with Python

Ďalšie otázky a odpovede:

• Lúka: Umelá inteligencia
• program: Strojové učenie EITC/AI/MLP s Pythonom (prejdite do certifikačného programu)
• lekcia: regresia (prejdite na súvisiacu lekciu)
• Téma: Pochopenie regresie (prejdite na súvisiacu tému)