Otázka, či je problém zastavenia Turingovho stroja rozhodnuteľný, je základnou otázkou v oblasti teoretickej informatiky, najmä v oblastiach teórie výpočtovej zložitosti a rozhodovateľnosti. Problém zastavenia je problém rozhodovania, ktorý možno neformálne vyjadriť nasledovne: na základe popisu Turingovho stroja a vstupu určite, či sa Turingov stroj pri spustení s týmto vstupom nakoniec zastaví, alebo či bude bežať navždy.
Na riešenie rozhodovateľnosti problému zastavenia je nevyhnutné pochopiť samotný pojem rozhodovateľnosti. O probléme sa hovorí, že je rozhoditeľný, ak existuje algoritmus, ktorý dokáže poskytnúť správnu odpoveď áno-nie pre každý prípad problému v konečnom čase. Naopak, problém je nerozhodnuteľný, ak takýto algoritmus neexistuje.
Problém zastavenia bol prvýkrát predstavený Alanom Turingom v roku 1936 a dokázal, že je nerozhodnuteľný. Turingov dôkaz je klasickým príkladom argumentu diagonalizácie a zahŕňa šikovné použitie sebareferencie a protirečenia. Dôkaz možno zhrnúť takto:
1. Predpoklad rozhodovateľnosti: Pre protirečenie predpokladajme, že existuje Turingov stroj ( H ), ktorý dokáže vyriešiť problém zastavenia. To znamená, že (H) berie ako vstup pár ( (M, w) ), kde ( M ) je popis Turingovho stroja a ( w ) je vstupný reťazec a ( H(M, w) ) vracia " áno“, ak ( M ) sa zastaví na ( w ) a „nie“, ak sa ( M ) nezastaví na ( w ).
2. Konštrukcia paradoxného stroja: Pomocou ( H ) zostrojte nový Turingov stroj ( D ), ktorý má jeden vstup ( M ) (opis Turingovho stroja) a správa sa takto:
– ( D(M) ) beží ( H(M, M) ).
– Ak ( H(M, M) ) vráti "nie", potom ( D(M) ) sa zastaví.
– Ak ( H(M, M) ) vráti "áno", potom ( D(M) ) vstúpi do nekonečnej slučky.
3. Sebareferencia a rozpor: Zvážte správanie ( D ), keď má ako vstup vlastný popis. Nech (d) je opis (D). Potom máme dva prípady:
– Ak sa ( D(d) ) zastaví, potom podľa definície ( D ), ( H(d, d) ) musí vrátiť „nie“, čo znamená, že ( D(d) ) by sa nemalo zastaviť – rozpor.
– Ak sa ( D(d) ) nezastaví, potom podľa definície ( D ), ( H(d, d) ) musí vrátiť „áno“, čo znamená, že ( D(d) ) by sa malo zastaviť – opäť, rozpor .
Keďže oba prípady vedú k rozporu, počiatočný predpoklad, že (H) existuje, musí byť nepravdivý. Preto je problém zastavenia nerozhodný.
Tento dôkaz ukazuje, že neexistuje žiadny všeobecný algoritmus, ktorý by dokázal vyriešiť problém zastavenia pre všetky možné Turingove stroje a vstupy. Nerozhodnuteľnosť problému zastavenia má hlboké dôsledky na limity výpočtu a na to, čo je možné určiť algoritmom. Ukazuje, že existujú prirodzené obmedzenia toho, čo sa dá vypočítať, a niektoré problémy sú mimo dosahu akéhokoľvek algoritmu.
Na ďalšie znázornenie dôsledkov problému zastavenia zvážte nasledujúce príklady:
- Overenie programu: Možno budete chcieť overiť, či daný program skončí pre všetky možné vstupy. Kvôli nerozhodnuteľnosti problému zastavenia nie je možné vytvoriť univerzálny overovač programu, ktorý dokáže pre každý možný program a vstup určiť, či sa program zastaví.
- Analýza bezpečnosti: V oblasti kybernetickej bezpečnosti možno budete chcieť analyzovať, či sa časť škodlivého softvéru nakoniec prestane vykonávať. Nerozhodnuteľnosť problému zastavenia znamená, že neexistuje žiadny všeobecný algoritmus, ktorý by dokázal určiť, či sa daný malvér zastaví.
- Matematické dôkazy: Problém zastavenia súvisí s Gödelovými vetami o neúplnosti, ktoré tvrdia, že v každom dostatočne výkonnom formálnom systéme existujú pravdivé tvrdenia, ktoré nie je možné v rámci systému dokázať. Nerozhodnuteľnosť problému zastavenia ukazuje, že existujú otázky o správaní algoritmov, na ktoré nie je možné odpovedať v rámci algoritmických výpočtov.
Nerozhodnuteľnosť problému zastavenia vedie aj ku konceptu redukovateľnosť v teórii výpočtovej zložitosti. O probléme (A) sa hovorí, že je redukovateľný na problém (B), ak sa riešenie (B) dá použiť na vyriešenie (A). Ak by bol problém zastavenia rozhodnutý, potom by sa aj mnoho ďalších nerozhodnutých problémov dalo vyriešiť redukciou na problém zastavenia. Keďže je však problém zastavenia nerozhodnuteľný, nerozhodnutý je aj akýkoľvek problém, ktorý možno zredukovať na problém zastavenia.
Problém zastavenia Turingovho stroja je nerozhodný. Tento výsledok je základným kameňom teoretickej informatiky a má ďalekosiahle dôsledky pre naše chápanie výpočtov, algoritmických limitov a povahy matematickej pravdy.
Ďalšie nedávne otázky a odpovede týkajúce sa Rozhodovateľnosť:
- Môže byť páska obmedzená na veľkosť vstupu (čo je ekvivalentné tomu, že hlava Turingovho stroja je obmedzená tak, aby sa pohybovala za vstupom pásky TM)?
- Čo to znamená, že rôzne variácie Turingových strojov sú ekvivalentné vo výpočtovej schopnosti?
- Môže Turingov rozpoznateľný jazyk tvoriť podmnožinu rozhoditeľného jazyka?
- Ak máme dve PP, ktoré opisujú rozhoditeľný jazyk, je otázka ekvivalencie stále nerozhodnutá?
- Ako sa problém akceptácie pre lineárne ohraničené automaty líši od problému Turingových strojov?
- Uveďte príklad problému, ktorý môže vyriešiť lineárny ohraničený automat.
- Vysvetlite pojem rozhodnuteľnosť v kontexte lineárne ohraničených automatov.
- Ako ovplyvňuje veľkosť pásky v lineárne ohraničených automatoch počet rôznych konfigurácií?
- Aký je hlavný rozdiel medzi lineárne ohraničenými automatmi a Turingovými strojmi?
- Popíšte proces transformácie Turingovho stroja na sadu dlaždíc pre PCP a ako tieto dlaždice predstavujú históriu výpočtov.
Pozrite si ďalšie otázky a odpovede v časti Rozhodnuteľnosť