Je každý jazyk bez kontextu v triede zložitosti P?
Otázka, či každý bezkontextový jazyk (CFL) patrí do triedy zložitosti P, je fascinujúcou témou v rámci teórie výpočtovej zložitosti. Na komplexné riešenie tejto otázky je nevyhnutné zvážiť definície bezkontextových jazykov, triedu zložitosti P a vzťah medzi týmito pojmami.
Bezkontextový jazyk je typ formálneho jazyka, ktorý môže byť generovaný bezkontextovou gramatikou (CFG). CFG je súbor produkčných pravidiel, ktoré popisujú všetky možné reťazce v danom formálnom jazyku. Každé pravidlo v CFG nahrádza jeden neterminálny symbol reťazcom neterminálnych a terminálových symbolov. Bezkontextové jazyky sú v informatike významné, pretože dokážu opísať syntax väčšiny programovacích jazykov a sú rozpoznané zásobníkovými automatmi.
Trieda zložitosti P pozostáva z rozhodovacích problémov, ktoré môže vyriešiť deterministický Turingov stroj v polynomiálnom čase. Polynomiálny čas, označený ako O(n^k), kde n je veľkosť vstupu a k je konštanta, predstavuje hornú hranicu časovej zložitosti algoritmu. Problémy v P sa považujú za efektívne riešiteľné, pretože čas potrebný na ich vyriešenie rastie zvládnuteľnou rýchlosťou so zvyšujúcou sa veľkosťou vstupu.
Aby sme určili, či je každý bezkontextový jazyk v P, musíme preskúmať výpočtové zdroje potrebné na rozhodnutie o členstve v bezkontextovom jazyku. Rozhodovací problém pre bezkontextový jazyk sa zvyčajne uvádza takto: ak je daný reťazec w a bezkontextová gramatika G, určite, či môže byť w generované pomocou G.
Štandardným algoritmom na rozhodovanie o členstve v bezkontextovom jazyku je algoritmus CYK (Cocke-Younger-Kasami), čo je algoritmus dynamického programovania. Algoritmus CYK pracuje v čase O(n^3), kde n je dĺžka vstupného reťazca. Táto kubická časová zložitosť vzniká, pretože algoritmus vytvára tabuľku analýzy, ktorá má rozmery úmerné dĺžke vstupného reťazca a počtu neterminálnych symbolov v gramatike.
Vzhľadom na to, že algoritmus CYK pracuje v polynomiálnom čase, z toho vyplýva, že problém členstva pre bezkontextové jazyky možno vyriešiť v polynomiálnom čase. V dôsledku toho sú bezkontextové jazyky skutočne v triede zložitosti P. Tento výsledok je významný, pretože potvrdzuje, že bezkontextové jazyky, ktoré sú výraznejšie ako regulárne jazyky, možno stále efektívne rozhodovať.
Na ilustráciu si predstavte bezkontextový jazyk L = {a^nb^n | n ≥ 0}, ktorý pozostáva z reťazcov s rovnakým počtom „a“, za ktorými nasleduje rovnaký počet „b“. Bezkontextová gramatika pre tento jazyk môže byť definovaná takto:
S → aSb | ε
Tu je S počiatočný symbol a ε predstavuje prázdny reťazec. Algoritmus CYK možno použiť na určenie, či daný reťazec w patrí do L. Napríklad, ak je reťazec w = "aaabbb", algoritmus CYK vytvorí tabuľku analýzy na overenie, že w môže byť vygenerované gramatikou.
Okrem toho stojí za zmienku, že o niektorých bezkontextových jazykoch je možné rozhodnúť ešte efektívnejšie ako o všeobecnej časovej zložitosti O(n^3) algoritmu CYK. Napríklad o deterministických bezkontextových jazykoch, ktoré sú podmnožinou bezkontextových jazykov rozpoznávaných deterministickými zásobníkovými automatmi, možno často rozhodnúť v čase O(n). Táto lineárna časová zložitosť vzniká, pretože deterministické zásobníkové automaty majú obmedzenejší výpočtový model, ktorý umožňuje efektívnejšie analyzovacie algoritmy, ako sú analyzátory LR(k) alebo LL(k) používané pri návrhu kompilátora.
Problém členstva pre bezkontextové jazyky možno vyriešiť v polynomiálnom čase pomocou algoritmov, ako je algoritmus CYK, umiestnením bezkontextových jazykov do triedy zložitosti P. Tento výsledok poukazuje na efektivitu, s akou je možné bezkontextové jazyky spracovať, vďaka čomu sú vhodné pre aplikácie v analýze syntaxe programovacieho jazyka a iných oblastiach, kde sa vyžaduje formálne rozpoznávanie jazyka.
Ďalšie nedávne otázky a odpovede týkajúce sa zložitosť:
- Nerovná sa trieda PSPACE triede EXPSPACE?
- Je trieda zložitosti P podmnožinou triedy PSPACE?
- Môžeme dokázať, že Np a P trieda sú rovnaké nájdením efektívneho polynomického riešenia pre akýkoľvek NP úplný problém na deterministickom TM?
- Môže sa trieda NP rovnať triede EXPTIME?
- Vyskytujú sa v PSPACE problémy, pre ktoré nie je známy NP algoritmus?
- Môže byť problém SAT úplným problémom NP?
- Môže byť problém v triede zložitosti NP, ak existuje nedeterministický Turingov stroj, ktorý ho vyrieši v polynomiálnom čase
- NP je trieda jazykov, ktoré majú polynomiálne časové overovače
- Sú P a NP vlastne rovnaká trieda zložitosti?
- Existuje rozpor medzi definíciou NP ako triedy rozhodovacích problémov s polynomiálnymi verifikátormi a skutočnosťou, že problémy v triede P majú aj polynomiálne verifikátory?
Pozrite si ďalšie otázky a odpovede v časti Zložitosť