Je trieda zložitosti P podmnožinou triedy PSPACE?
V oblasti teórie výpočtovej zložitosti je základnou témou štúdia vzťah medzi triedami zložitosti P a PSPACE. Pri riešení otázky, či je trieda zložitosti P podmnožinou triedy PSPACE alebo či sú obe triedy rovnaké, je nevyhnutné zvážiť definície a vlastnosti týchto tried a analyzovať ich vzájomné prepojenia.
Trieda zložitosti P (Polynomial Time) pozostáva z rozhodovacích problémov, ktoré môže vyriešiť deterministický Turingov stroj v rámci polynomiálneho času. Formálne jazyk L patrí do P, ak existuje deterministický Turingov stroj M a polynóm p(n) taký, že pre každý reťazec x M rozhodne, či x patrí do L najviac v p(|x|) krokoch, kde | x| označuje dĺžku reťazca x. Zjednodušene povedané, problémy v P možno riešiť efektívne, pričom potrebný čas rastie nanajvýš polynomiálne so vstupnou veľkosťou.
Na druhej strane, PSPACE (Polynomial Space) zahŕňa rozhodovacie problémy, ktoré môže vyriešiť Turingov stroj pomocou polynomického priestoru. Jazyk L je v PSPACE, ak existuje Turingov stroj M a polynóm p(n) taký, že pre každý reťazec x M rozhodne, či x patrí do L s použitím maximálne p(|x|) priestoru. Je pozoruhodné, že čas potrebný na výpočet nie je ohraničený polynómom; len priestor je.
Ak chcete pochopiť vzťah medzi P a PSPACE, zvážte nasledujúce body:
1. Zahrnutie P do PSPACE: Akýkoľvek problém, ktorý sa dá vyriešiť v polynomiálnom čase, sa dá vyriešiť aj v polynomickom priestore. Je to preto, že deterministický Turingov stroj, ktorý rieši problém v polynomiálnom čase, využije nanajvýš polynómový priestor, pretože nemôže využiť viac priestoru, než koľko krokov urobí. Preto je P podmnožinou PSPACE. Formálne P ⊆ PSPACE.
2. Potenciálna rovnosť P a PSPACE: Otázka, či sa P rovná PSPACE (P = PSPACE) je jedným z hlavných otvorených problémov teórie výpočtovej zložitosti. Ak by sa P rovnalo PSPACE, znamenalo by to, že všetky problémy, ktoré sa dajú vyriešiť pomocou polynomického priestoru, sa dajú vyriešiť aj v polynomiálnom čase. V súčasnosti však neexistuje žiadny dôkaz, ktorý by túto rovnosť potvrdil alebo vyvrátil. Väčšina teoretikov zložitosti verí, že P je prísne obsiahnuté v PSPACE (P ⊊ PSPACE), čo znamená, že v PSPACE sú problémy, ktoré nie sú v P.
3. Príklady a implikácie: Zvážte problém určenia, či je daný kvantifikovaný booleovský vzorec (QBF) pravdivý. Tento problém, známy ako TQBF (True Quantified Boolean Formula), je kanonickým problémom PSPACE. Problém je PSPACE-úplný, ak je v PSPACE a každý problém v PSPACE sa naň dá zredukovať pomocou polynomiálnej redukcie času. Predpokladá sa, že TQBF nie je v P, pretože vyžaduje vyhodnotenie všetkých možných pravdivostných priradení k premenným, čo sa vo všeobecnosti nedá urobiť v polynomiálnom čase. Dá sa však vyriešiť pomocou polynomiálneho priestoru rekurzívnym vyhodnocovaním podformulí.
4. Hierarchia tried zložitosti: Vzťah medzi P a PSPACE možno lepšie pochopiť, ak vezmeme do úvahy širší kontext tried zložitosti. Trieda NP (Nondeterministic Polynomial Time) pozostáva z rozhodovacích problémov, ktorých riešenie je možné overiť v polynomiálnom čase. Je známe, že P ⊆ NP ⊆ PSPACE. Presné vzťahy medzi týmito triedami (napr. či P = NP alebo NP = PSPACE) však zostávajú nevyriešené.
5. Savitchova veta: Dôležitým výsledkom v teórii zložitosti je Savitchova veta, ktorá hovorí, že akýkoľvek problém riešiteľný v nedeterministickom polynomickom priestore (NPSPACE) môže byť vyriešený aj v deterministickom polynomickom priestore. Formálne NPSPACE = PSPACE. Táto veta podčiarkuje robustnosť triedy PSPACE a zdôrazňuje, že nedeterminizmus neposkytuje dodatočnú výpočtovú silu z hľadiska priestorovej zložitosti.
6. Praktické dôsledky: Pochopenie vzťahu medzi P a PSPACE má významné dôsledky pre praktickú výpočtovú techniku. Problémy v P sa považujú za efektívne riešiteľné a sú vhodné pre aplikácie v reálnom čase. Na rozdiel od toho, problémy v PSPACE, aj keď sú riešiteľné polynomiálnym priestorom, môžu vyžadovať exponenciálny čas, čo ich robí nepraktickými pre veľké vstupy. Identifikácia, či problém leží v P alebo PSPACE, pomáha pri určovaní uskutočniteľnosti hľadania efektívnych algoritmov pre aplikácie v reálnom svete.
7. Smery výskumu: Štúdium otázky P vs. PSPACE je naďalej aktívnou oblasťou výskumu. Pokroky v tejto oblasti by mohli viesť k prelomom v chápaní základných limitov výpočtov. Výskumníci skúmajú rôzne techniky, ako je zložitosť obvodov, interaktívne dôkazy a algebraické metódy, aby získali prehľad o vzťahoch medzi triedami zložitosti.
Trieda zložitosti P je skutočne podmnožinou PSPACE, keďže akýkoľvek problém riešiteľný v polynomiálnom čase možno vyriešiť aj v polynomickom priestore. Avšak, či sa P rovná PSPACE, zostáva otvorenou otázkou v teórii výpočtovej zložitosti. Prevláda názor, že P je prísne obsiahnuté v PSPACE, čo naznačuje, že v PSPACE existujú problémy, ktoré nie sú v P. Tento vzťah má hlboké dôsledky pre teoretické aj praktické aspekty výpočtovej techniky, čo vedie výskumníkov v ich snahe pochopiť skutočnú povahu výpočtová náročnosť.
Ďalšie nedávne otázky a odpovede týkajúce sa zložitosť:
- Nerovná sa trieda PSPACE triede EXPSPACE?
- Môžeme dokázať, že Np a P trieda sú rovnaké nájdením efektívneho polynomického riešenia pre akýkoľvek NP úplný problém na deterministickom TM?
- Môže sa trieda NP rovnať triede EXPTIME?
- Vyskytujú sa v PSPACE problémy, pre ktoré nie je známy NP algoritmus?
- Môže byť problém SAT úplným problémom NP?
- Môže byť problém v triede zložitosti NP, ak existuje nedeterministický Turingov stroj, ktorý ho vyrieši v polynomiálnom čase
- NP je trieda jazykov, ktoré majú polynomiálne časové overovače
- Sú P a NP vlastne rovnaká trieda zložitosti?
- Je každý jazyk bez kontextu v triede zložitosti P?
- Existuje rozpor medzi definíciou NP ako triedy rozhodovacích problémov s polynomiálnymi verifikátormi a skutočnosťou, že problémy v triede P majú aj polynomiálne verifikátory?
Pozrite si ďalšie otázky a odpovede v časti Zložitosť